完美长方体：整数对角线的三维冒险
把勾股数从平面推到三维后，理解要求七条线同时为整数的完美长方体问题为什么至今仍是未解之谜，并掌握用模拟、游戏和代码探索这个问题的思路。
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能否找到一个长、宽、高以及所有面对角线、体对角线都是整数的长方体？
- pythagorean-triple
- 满足 A²+B²=C² 且三边均为整数的直角三角形。
- face-diagonal
- 长方体三个面的对角线：D=√(A²+B²)、E=√(A²+C²)、F=√(B²+C²)。
- space-diagonal
- 长方体空间对角线：G=√(A²+B²+C²)。
- euler-brick
- 所有面对角线均为整数的长方体，但体对角线不一定为整数。
- perfect-cuboid
- 所有面对角线和体对角线均为整数的长方体，目前是否存在仍未解决。
- brute-force-search
- 枚举有限范围内的边长组合，逐个检查对角线是否为整数。
只要三边都是整数，空间对角线 G 也一定是整数。
用反例展示 G=√(A²+B²+C²) 可能为无理数，整数边不足以保证整数体对角线。
如果面对角线都是整数，体对角线自然也是整数。
欧拉砖正是反例：D/E/F 可全为整数，G 仍可能是无理数。
既然没人找到完美长方体，就说明它不存在。
说明“未找到”与“已证明不存在”不同，完美长方体仍是开放问题。
- 勾股定理
- 平方根与无理数
- 基础 Python 阅读能力
- 完美长方体存在性的严格证明
- 高级数论方法
- 四维及以上的整数对角线推广
- 能用公式判断一组边长的空间对角线和面对角线是否为整数。
- 能解释欧拉砖与完美长方体的区别。
- 能运行并修改简单的暴力搜索代码寻找欧拉砖。
- 把“整数约束”的提问方式迁移到其他几何对象（如整数四面体），并提出一个可验证的猜想。
熟悉勾股定理和平方根，能读简单 Python 代码；不需要高等数学背景。
- 01从勾股定理到完美长方体slideOrientationObserve
回顾二维勾股数，然后提出三维问题：是否有一个长方体，它的所有边长和对角线都是整数？
- 勾股数：A²+B²=C²
- 三维要多看 4 条线
- 完美长方体问题是什么
- 02三维勾股实验室interactiveModel buildingObserve
用滑杆调整长、宽、高，观察空间对角线 G 的变化，体会整数边长不一定带来整数对角线。
- G=√(A²+B²+C²)
- 整数边 ≠ 整数对角线
- 把二维勾股定理推上三维
- 03面对角线实验室interactiveModel buildingExplain
加入三个面对角线 D、E、F，分别观察它们何时为整数，并把它们与空间对角线 G 一起检查。
- D=√(A²+B²)
- E=√(A²+C²)
- F=√(B²+C²)
- 同时观察 G
- 04完美长方体问题地图interactiveModel buildingChoose
用一张可点击的概念图，梳理从勾股数到欧拉砖再到完美长方体的逻辑链条。
- 欧拉砖：面对角线全整数
- 完美长方体：还要体对角线整数
- 这是一个未解问题
- 05对角线同步挑战interactivePracticeConstruct
在倒计时中调整 A、B、C，让 D、E、F、G 四条对角线同时变成整数并保持住，玩出对整数条件的直觉。
- 同时满足四条整数对角线
- 快速调整边长旋钮
- 感受完美条件的苛刻
- 06暴力搜索欧拉砖interactiveApplicationConstruct
运行一段 Python 代码，在边长上限内枚举并找到欧拉砖，亲眼看到面对角线全整数而体对角线不整数的例子。
- 枚举所有边长组合
- 检查 D/E/F 是否整数
- 欧拉砖存在且数量不少
- 07预测并验证：哪条对角线会变整数？interactivePredictionPredict
面对一组新边长，先预测 D/E/F/G 中有几条是整数，再用模拟器验证，训练对平方根整数的敏感度。
- 先形成预测再验证
- 关注平方根是否为整数
- 强化欧拉砖与完美长方体区别
- 08完美长方体猎手interactiveApplicationApply
操纵扫描器在边长平面上巡航，寻找面对角线为整数的候选点，采集欧拉砖亮点并避开陷阱，把直觉变成操作。
- 移动扫描器探索候选点
- 收集欧拉砖亮点
- 体会搜索的规模与难度
- 09未解的数学谜题slideSynthesisExplain
总结为什么完美长方体是开放问题：欧拉砖很多，但七条线全整数的长方体至今没有找到，也没有被证明不存在。
- 完美长方体 = 未解问题
- 欧拉砖 ≠ 完美长方体
- 未找到 ≠ 不存在
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