勾股数的无穷奥秘
一个简洁的公式（a = m² - n², b = 2mn, c = m² + n²）就能生成无穷多个整数边直角三角形。
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除了 3,4,5，整数边直角三角形还有多少组？
- triple-definition
- 满足 a² + b² = c² 的三个正整数，如 3,4,5。
- primitive-triple
- 三边最大公约数为 1 的勾股数，如 5,12,13。
- euclid-formula
- 由两个正整数 m > n 生成 a = m² - n², b = 2mn, c = m² + n²，所得三边必为直角三角形的边。
- infinite-generation
- 因为 m, n 的取值有无穷多种，且能产生本质不同的勾股数，所以勾股数有无穷多组。
- scaled-triple
- 将一组勾股数三边同时乘以正整数 k，得到的新勾股数不再视为本质不同。
勾股数只有 3,4,5 这一组或很少几组。
通过列举多组原始勾股数并用 m, n 生成公式，说明数量不限于常见几组。
把一组勾股数的三边同时放大，得到的是一组全新的勾股数。
说明按倍数放大只是重复同一形状，真正的“新”勾股数应回到原始勾股数。
要判断一组数是不是勾股数，只能逐一代入验算。
展示 Euclid 公式可以从代数上保证 a² + b² = c²，不需要反复试算。
- 勾股定理 a² + b² = c²
- 平方差公式
- 最大公约数的基本概念
- Fermat 大定理
- Pell 方程求解
- 复数与高斯整数构造
- 程序穷举优化
- 能写出至少 5 组互不相同的勾股数
- 能说明 m, n 的无限取法如何带来无穷多组勾股数
- 能区分原始勾股数与倍数放大型勾股数
- 能运用公式从给定边长出发构造勾股数
- 面对“已知一条直角边的长度，构造勾股数”的新问题时，能用本课的公式与放大思路独立求解。
已掌握勾股定理和平方差公式的初中生或高一学生，能进行简单代数式展开。
- 01勾股数的第一问slideOrientationObserve
用 3,4,5 提出核心问题：整数边直角三角形到底有多少种？
- 3² + 4² = 5²
- 整数边直角三角形还有多少组？
- 本课寻找勾股数的无穷家族
- 02你猜勾股数有多少组？quizPredictionPredict
让学习者先在猜测中暴露对勾股数数量的直觉。
- 做出预测
- 带着问题进入探索
- 03不只 3,4,5slideMisconception repairObserve
展示多组原始勾股数，打破“勾股数很少”的直觉。
- [Table] 前几组原始勾股数：3-4-5、5-12-13、8-15-17、7-24-25
- 每组都满足 a² + b² = c²
- 可见勾股数并非只有 3,4,5
- 04勾股数生成实验室interactiveModel buildingConstruct
拖动画 m 和 n，观察公式 a = m² - n², b = 2mn, c = m² + n² 自动产出勾股数，并实时验证 a² + b² = c²。
- 用滑块调整 m 和 n
- 观察 a, b, c 的变化
- 实时验证勾股定理
- 05为什么公式永远成立？slideModel buildingExplain
从代数展开证明 (m² - n²)² + (2mn)² = (m² + n²)²，说明公式不是巧合。
- 左边展开：(m² - n²)² + (2mn)²
- = m⁴ - 2m²n² + n⁴ + 4m²n²
- = m⁴ + 2m²n² + n⁴ = (m² + n²)²
- 所以公式保证得到直角三角形的三边
- 06用公式算一算quizPracticeApply
给定 m = 3, n = 2，请选出公式生成的勾股数。
- 代入公式
- 选出正确三边
- 07无限组从哪来slideMisconception repairExplain
因为任意 m > n 的正整数都可以代入公式，而正整数对有无穷多个，所以勾股数也无尽涌现。
- m, n 可以是任意满足 m > n 的正整数
- 正整数对 (m, n) 有无穷多个
- 每组都能对应勾股数，所以答案：无穷多组
- 08本质不同还是放大？quizAssessmentChoose
判断 6,8,10 与 3,4,5 的关系，理解倍数放大不会产生本质新的勾股数。
- 比较公因数
- 识别原始勾股数
- 09原始与放大：看清无穷多slideSynthesisExplain
把勾股数分成原始勾股数和放大衍生两类：原始勾股数由互质且一奇一偶的 m, n 生成，放大则改变大小不改变形状。
- 原始勾股数：三边互质
- 生成原始勾股数的条件：m, n 互质且一奇一偶
- 放大衍生：乘 k 后仍是勾股数，但不算新形状
- 新形状是无限的，放大又提供更多变体
- 10用它来造勾股数slideApplicationApply
给一个实际任务：若规定某一条直角边为 20，如何用公式和放大法构造出多组勾股数？
- 任务：找一条直角边为 20 的勾股数
- 取 m = 5, n = 2 得到 20,21,29
- 取 m = 10, n = 1 得到 20,99,101
- 公式加放大的思路可以应对这类构造问题
- 11综合闯关quizAssessmentChoose
用综合题检验能否区分原始勾股数、放大型勾股数，并会用公式生成新勾股数。
- 完成综合性选择
- 回顾三个核心结论
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