4的倍数还是奇素因子？

我们面对这个命题：每个大于2的整数，要么能被4整除，要么含有某个奇素因子。先看几个小数字：6不被4整除，但有因子3；8被4整除；10不被4整除，但有因子5。它真的对每个大于2的整数都成立吗？

• 命题陈述
• 小例子
• 留下疑问

在看完整证明之前，先独立判断：这个断言对所有大于2的整数都成立吗？

• 做出判断
• 不必解释
• 之后会验证

选择一个大于2的整数，观察它的质因数分解：它是否被4整除？是否出现奇素因子？通过不断取样，寻找可能推翻断言的反例。

• 输入任意大于2的整数
• 查看质因数分解
• 对照两个条件

任意n>2的质因数分解形如n=2^k·m，其中m是奇数的乘积。如果n没有奇素因子，那么m=1，所以n=2^k。由于n>2，k至少为2，于是n被4整除。反过来，如果n不被4整除，那么k只能是0或1；若k=0则n是奇数，必含奇素因子；若k=1则n=2m，m>1（因为n>2），所以m含奇素因子。因此命题成立。

• 质因数分解统一表示
• 没有奇素因子只能是2的幂
• n>2推出指数至少为2

这个命题并不等于‘每个整数都有奇素因子’，因为4的倍数可以没有奇素因子；也不等于‘每个偶数都被4整除’。它的力量在于把两个条件组合起来覆盖所有大于2的整数。

• 命题的两个条件是‘或’关系
• 4的倍数可以没有奇素因子
• 边界情况是2

将原命题中的‘被4整除’改成‘被6整除’。利用因数分解，测试若干数字，看看这个新断言是否仍然成立，并说明理由。

• 比较除数4和6
• 找出反例
• 把证明思路迁移到变体

回到最初的驱动问题：命题成立。每个大于2的整数，如果本身没有奇素因子，就一定是2的幂；而大于2的2的幂都至少是4，所以必被4整除。反过来，如果不被4整除，质因数分解中最多只有一个2，余下部分必然贡献一个奇素因子。

• 分解为2的幂乘奇数部分
• 没有奇素因子 ⇒ n=2^k
• n>2 ⇒ k≥2 ⇒ 被4整除