평균이 왜 종 모양을 만드는가

한 개의 주사위는 평평한 분포를 주지만, 서른 개를 굴려 평균을 내면 종 모양이 모습을 드러냅니다. 이 대비로 출발 질문을 던집니다 — 종은 어디서 왔을까?

• 주사위 하나는 1부터 6까지 평평하게 흩어집니다.
• 주사위 서른 개의 평균은 매끄러운 종 모양입니다.
• 도대체 누가 이 모양을 만든 걸까요?

균등, skewed, 쌍봉 같은 종이 전혀 아닌 분포를 골라 표본 크기를 1에서 50까지 올려봅니다. 어떤 시작점이든 평균을 내면 종이 모습을 드러내는 걸 직접 봅니다.

• 균등, 한쪽으로 쏠린, 쌍봉 분포를 선택합니다.
• 표본 크기 n을 1에서 50까지 바꿔봅니다.
• 분포가 둥글어지고 좁아지는 과정을 관찰합니다.

평균은 사실 작은 흔들림들을 차례차례 더하는 일입니다. 각 흔들림은 대칭적으로 위아래를 흔드는데, 극단값이 되려면 모든 흔들림이 같은 방향이어야 하니 드물고, 중간값은 여러 조합으로 도달하니 흔합니다. 이 기제가 바로 중심극한정리가 종을 만들어내는 이유입니다.

• 추가되는 값 하나하나가 작은 흔들림입니다.
• 대칭적인 흔들림들은 서로를 상쇄시킵니다.
• 극단 합계는 모든 흔들림이 같은 방향이어야 하니 희귀합니다.
• 중간 합계는 여러 조합이 가능하니 흔합니다.
• 이것이 중심극한정리의 직관입니다.

성인의 키는 수많은 유전적·환경적 요인의 평균이고, 시험 점수는 여러 작은 능력의 평균이며, 측정 오차는 무수한 미세한 방해의 평균입니다. 어떤 합리적인 데이터든 평균을 내면 종이 따라옵니다. 그래서 종 곡선은 자연 곳곳에 등장합니다.

• 키는 많은 유전·영양 요인의 평균입니다.
• 시험 점수는 여러 작은 능력의 평균입니다.
• 측정 오차는 수많은 미세 방해의 평균입니다.
• 거의 모든 평균에 종 곡선이 따라옵니다.