调和级数的收敛之谜
调和级数的项虽趋向零，却因分母增长过慢而累积发散；等比级数则按固定比例缩小，使总面积稳定在1。
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两项级数都包含越来越小的正数，为什么一个趋于无穷，另一个却恰好等于1？
- partial-sums
- 用前若干项的和观察级数累积到哪里。
- term-size
- 区分每一项的大小与许多项累积后的总和。
- harmonic-division
- 把调和级数按2的幂次分组，证明每组至少贡献约1/2。
- harmonic-divergence
- 组数可无限增加，因此调和级数的部分和没有上界。
- geometric-halving
- 通过反复分割一条单位线段，使各部分之和恰为1。
- geometric-sum
- 几何比为1/2时，第n项为1/2^n，前n项和为1-1/2^n。
- convergence-comparison
- 比较分母增长速度和固定缩放比例，解释两类级数的不同行为。
只要每一项越来越小，无穷相加后就一定不会超过1。
用部分和演示：项趋近零只是必要直觉，几何衰减可收敛，而缓慢衰减会不断累积。
调和级数发散，是因为它的某一项特别大。
通过分组实验显示所有项都很小，但大量分组各自贡献至少约1/2，累计仍无上界。
1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1，意味着后面所有项加起来等于0。
用有限部分和1-1/2^n说明尾部虽存在并趋近零，但永远为正且无限多项共同决定极限。
- 分数运算
- 等比数列
- 简单数列与部分和
- 极限的直观认识
- 积分判别法
- Cauchy 凝聚判别法
- 绝对收敛与条件收敛
- 级数的完整极限定义证明
- 能说明调和级数为何发散，而不只是记住结论。
- 能用几何图或公式解释等比级数1/2+1/4+1/8+…为何等于1。
- 能区分第n项趋近零与无穷级数总和收敛。
- 能判断简单级数属于调和型还是几何型，并预测部分和趋势。
- 面对由1/(n+1)或1/2^n型表达式组成的新级数，能依据分母增长或几何比例预测其累积行为。
已理解等比数列、等比数列求和的直观含义，并具备基本分数运算能力，但尚未学习级数收敛的严格定义。
- 01同样是无限项，结果为何不同？slideOrientationPredict
并列呈现调和级数与等比级数，引导学习者区分“每一项多小”和“无限项累积多少”。
- 两项都趋于零
- 部分和揭示累积趋势
- 关键在于项如何缩小
- 02无穷项观察台interactivePredictionPredict
调节两种级数的显示项数，先预测再运行调和级数与二倍递减级数的部分和轨迹。
- 预测前10项
- 观察两条和曲线
- 记录增长与饱和
- 03调和级数分组放大镜interactiveModel buildingObserve
把调和级数按2的幂次切成区间，并显示每组内各项的面积和。
- 单组是1/2到1/2^k
- 整组有2^(k-1)项
- 每组和至少约1/2
- 04小项为何能堆成无穷？slideMisconception repairExplain
把分组结果与“项趋零”并置，澄清发散不是由某一项过大造成，而是无数个可控小和持续叠加。
- 每项确实趋近零
- 组和至少约1/2
- 组数没有上限
- 05逼近1的几何赛道interactiveModel buildingObserve
连续把一条单位长度线段的右半部分反复分割，直观展示总和固定为1且尾部不断缩小。
- 每次保留左半部分
- 下一段减半
- 已覆盖与未覆盖长度之和恒为1
- 06从图形到公式slideModel buildingExplain
把分半图的剩余长度写成2^-n，再与等比数列通项和有限部分和建立联系。
- 第n项是1/2^n
- 前n项和为1-1/2^n
- 极限为1但任何有限项不到1
- 07级数收敛对决interactivePredictionChoose
切换不同分母增长模式和几何比例，实时比较部分和曲线并判断是趋于有限值还是无界增长。
- 调整几何比例
- 比较分母增速
- 预测极限行为
- 08调速分岔挑战interactiveApplicationApply
玩家通过选择分母增长策略或固定缩放比例，让虚拟级数引擎避开发散溢出区并锁定有限极限。
- 控制项的缩小规律
- 避免部分和无界增长
- 用曲线验证策略
- 09收敛流程图interactiveSynthesisConstruct
用可展开决策图把级数按固定比例或分母增长分类，并将两种示例连接到最终行为。
- 观察固定比例
- 观察分母增长
- 连接到发散或收敛
- 核对有限和公式
- 10终极解释与迁移slideSynthesisApply
用一句话概括两类级数的差异，并要求学习者把判断方法应用到两个未直接讲解的新例子。
- 调和级数：缩小太慢
- 等比级数：固定比例缩小
- 项趋零不等于总和有限
- 看部分和与缩小规律
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